vélo et mathématiques

Le cyclisme est une activité physique qui peut faire l'objet de formulations mathématiques, permettant de relier le travail et la puissance d'un cycliste à sa vitesse, à sa position sur le vélo, à son type d'habillement, à son style de pédalage, à la pente de la route, au revêtement de la chaussée, à l'existence d'un vent favorable ou défavorable, contrairement à beaucoup d'autres sports qui ne relèvent que de la bio-mécanique, c'est-à-dire du comportement du corps humain. Des applications très pratiques peuvent en découler: calculer simplement sa puissance, préparer sa feuille de route pour un parcours réel, calculer l'autonomie de son VAE, mieux pédaler en danseuse, opter ou non pour un plateau ovale, ajuster son pédalage en montée, bien comprendre le freinage et bien d'autres.
Les disciplines scientifiques concernées sont surtout les branches statique et dynamique de la mécanique. Les documents proposés, élaborés au cours des dernières années et publiés initialement au sein d'un Club de Cyclotourisme (Brie Gâtinais Cyclotouriste à Fontainebleau), ont été rassemblés sur ce site afin qu'ils puissent être utiles aux cyclistes qui ne veulent pas "rouler idiots".
L'esprit de ces documents n'est pas de faire de la théorie pour le plaisir de la théorie mais d'aboutir à des conséquences et des applications pratiques. Ces documents sont en principe indépendants les uns des autres et présentés sans ordre particulier (néanmoins, le document "Le vélo en équation" établit la relation fondamentale reliant la puissance fournie par le cycliste, son coefficient de pénétration dans l'air, sa vitesse,son poids, le coefficient de frottement (résistance au roulement) et le vent, relation qui sera utilisée dans plusieurs documents).
Les visiteurs qui souhaiteraient obtenir des renseignements complémentaires peuvent prendre contact avec: contact@velomath.fr

Les titres

Théorie Le vélo en équation Ce document établit sur un ton humoristique la relation fondamentale reliant la puissance développée par un cycliste à sa vitesse et examine l'influence des paramètres à prendre en compte: la résistance au vent, le frottement des pneus, la pente de la route, le vent réel, l'abri du peleton. ouvrir télécharger au format pdf

Utilitaire Calculer sa puissance à partir d'une trace GPX Si vous disposez d'une "trace GPX" d'un parcours que vous avez effectué, trace obtenue à partir d'un Smartphone ou d'un GPS, ce calculateur vous donnera la puissance que vous avez fournie tout au long du parcours. ouvrir		Utilitaire Calculer sa puissance Sans vous doter d'une instrumentation particulière, ce calculateur permet de faire une estimation de la puissance que vous pouvez fournir en se basant sur les performances réalisées lors d'une randonnée sur terrain relativement plat. ouvrir

Utilitaire Calculer sa vitesse Le calculateur proposé vous permet d'estimer la vitesse prévisionnelle à laquelle vous roulerez sur un tronçon de route si vous indiquez la puissance que vous avez l'intention de fournir. Pour un parcours complet, utilisez le calculateur "Simutation d'un parcours" qui vous donnera la vitesse tout au long du parcours si vous disposez de sa trace GPX. ouvrir		Utilitaire Simulation d'un parcours donné par sa trace GPX La "trace" est de plus en plus utilisé pour définir les caractéristiques d'un parcours. Cette trace permet de connaître le profil d'un parcours: distance et altitude. Elle peut s'obtenir à partir de site comme Openrunner ou bien d'un GPS. A partir de la trace de format gpx, l'application proposée sert à établir votre feuille de route en fonction de la puissance que vous avez l'intention de fournir. Le calcul tient compte de la pente, de l'énergie cinétique et des forces d'inertie qui entrent en jeu à chaque changement de pente, de la présence de virages ainsi que du vent éventuel. Vous obtiendrez ainsi la durée prévisible du parcours et l'énergie que vous allez dépenser. ouvrir

Utilitaire Calculer le coefficient de frottement par le test de "vitesse limite en descente" Pour mesurer le coefficient f de résistance au roulement, nous vous proposons deux tests simples. Le test présenté ici est le test de "vitesse limite en descente" qui consiste à descendre une côte en roue libre et à mesurer la vitesse atteinte. Cependant, il faut connaître le coefficient Cx de pénétration dans l'air. Si vous n'avez aucune idée de ce coefficient, alors il faut faire un des deux tests présentés par ailleurs sur ce site et permettant de calculer à la fois Cx et f. ouvrir		Utilitaire Calculer le coefficient de frottement par le test de "distance d'arrêt" Pour mesurer le coefficient f de résistance au roulement, nous vous proposons deux tests simples. Le test présenté ici est le test de "distance d'arrêt" en roue libre qui consiste à mesurer la distance entre le point où vous cessez de pédaler et l'arrêt complet. Cependant, il faut connaître le coefficient Cx de pénétration dans l'air. Si vous n'avez aucune idée de ce coefficient, alors il faut faire un des deux tests présentés par ailleurs sur ce site et permettant de calculer à la fois Cx et f. ouvrir

Utilitaire Calculer son coefficient de pénétration dans l'air par le test de "vitesse limite en descente" Pour mesurer le coefficient Cx de pénétration dans l'air, nous vous proposons deux tests simples. Le test présenté ici est le test de "vitesse limite en descente". Cependant, il faut connaître le coefficient f de frottement (ou coefficient de résistance au roulement). Si vous n'avez aucune idée de ce coefficient, alors il faut faire un des deux tests présentés par ailleur sur ce site et permettant de calculer à la fois Cx et f. ouvrir		Utilitaire Calculer son coefficient de pénétration dans l'air par le test de "distance d'arrêt en roue libre" Pour mesurer le coefficient Cx de pénétration dans l'air, nous vous proposons deux tests simples. Le test présenté ici est le test de "distance d'arrêt en roue libre". Cependant, il faut connaître le coefficient f de frottement (ou coefficient de résistance au roulement). Si vous n'avez aucune idée de ce coefficient, alors il faut faire un des deux tests présentés par ailleurs sur le site et permettant de calculer à la fois Cx et f. ouvrir

Utilitaire Calculer son coefficient de pénétration dans l'air et le coefficient de frottement par le test de "décélération" Pour connaître votre coefficient de pénétration dans l'air, les deux tests proposés ci-dessus: test de "décélération" et test de "distance d'arrêt", exigent la connaissance du coefficient de frottement et réciproquement. Or ces deux tests permettent aussi de calculer à la fois les deux coefficients Cx et f. C'est le test de "décélération" qui est présenté ici à cet usage. ouvrir		Utilitaire Calculer son coefficient de pénétration dans l'air et le coefficient de frottement par le test de "distance d'arrêt" Pour connaître votre coefficient de pénétration dans l'air, les deux tests proposés ci-dessus: test de "décélération" et test de "distance d'arrêt", exigent la connaissance du coefficient de frottement et réciproquement. Or ces deux tests permettent aussi de calculer à la fois les deux coefficients Cx et f. C'est le test de "distance d'arrêt" qui est présenté ici à cet usage. Ce test nous paraît plus facile à exécuter que le test de décélération. ouvrir

Utilitaire Calculer la pente de la route par le test "distance d'arrêt" Le test "distance d'arrêt" qui consiste à mesurer la distance parcourue lorsque l'on s'arrête de pédaler est très fécond en applications. Il a été adapté ici à la mesure de la pente de la route à condition de connaître les paramètres Cx coefficient de pénétration dans l'air ainsi que f coefficient de résistance au roulement. On l'utilise donc comme un outil de géomètre mais il vaut mieux considérer cette application comme un gadget. ouvrir		Théorie Calculer le profil équivalent d'un parcours Un parcours cycliste est une succession de montées et de descentes. L'énergie nécessaire pour effectuer un parcours serait la même si on effectuait d'abord toutes les montées et ensuite toutes les descentes. Nous appelons "profil équivalent" le profil de ce parcours virtuel. Si vous disposez d'un fichier gpx définissant un parcours, ce calculateur permet de calculer et de visualiser le profil équivalent. ouvrir

Utilitaire Correction de l'altitude dans une trace gpx Les altitudes enregistrées sur les traces gpx définissant un parcours, traces que l'on obtient à partir d'un GPS, d'un smartphone ou d'un calculateur d'itinéraire, manquent très souvent de précision. Il en résulte notamment que le calcul des dénivelés est peu réaliste ou bien que la pente affichée dans diverses applications telles que celles qui se trouvent sur ce site atteint des valeurs exagérées. Ce calculateur permet d'améliorer les traces gpx en proposant plusieurs types de correction. En chargeant une trace gpx, vous obtiendrez en retour une trace corrigée. ouvrir

Utilitaire Le VAE pour tous Enfourchez votre vélo et partez le vent dans le dos. C'est fait, vous avez un VAE. Entendons par là Vélo à Assistance Eolienne. Ce document chiffre cette assistance et vous réserve peut-être quelques surprises. ouvrir télécharger le fichier en pdf		Théorie Le gain de vitesse à vélo couché A vélo couché, la position allongée permet de diminuer la résistance de l'air, d'où un gain de vitesse par rapport au vélo assis pour un même effort. En revanche, les vélos couchés sont plus lourds que les vélos assis. Ce handicap du poids gomme-t-il le gain de vitesse ? Ce document examine quantitativement l'influence de ces deux paramètres. Le vélo couché semble bien gagnant. ouvrir télécharger le fichier en pdf

Théorie Avec un plateau ovale, tourne-t-on plus rond ? Plusieurs vainqueurs récents du Tour de France étant équipés de plateaux ovales, les controverses sur l'efficacité de ces plateaux ont été remises au gout du jour. Ce document essaie d'analyser en toute objectivité si une augmentation des performances est possible. ouvrir télécharger au format pdf		Utilitaire Prévoir ses performances en montagne A partir des performances en plaine, ce document propose un calcul en ligne pour prévoir vos capacités de grimpeur sans fournir plus d'énergie. ouvrir

Utilitaire Fiche horaire d'un parcours basée sur la puissance Cette feuille de calcul Excel permet de calculer l'horaire d'un parcours de montagne où les points de passage sont définis par leur position kilométrique et leur altitude télécharger le fichier Excel		Théorie Le mouvement de pédalage Ce document décrit le mouvement de pédalage comme une conjugaison de deux forces appliquées par le cycliste: une force verticale et une force horizontale. Cela permet de proposer une formulation analytique du couple résultant de ces forces et la définition de seulement deux phases de pédalage. Un modèle biomécanique simple schématisant le mouvement du cycliste comme deux bielles (le fémur et le tibia) articulées sur deux rotules (à la hanche et au genou) est aussi présenté. ouvrir télécharger le fichier en pdf

Théorie La vitesse angulaire du plateau L'effort exercé par un cycliste sur les manivelles est très irrégulier lors d'un tour du plateau: aux points morts, l'effort est faible tandis qu'il est maximum lorsque la manivelle est horizontale. Quelle en est la conséquence sur la vitesse du cycliste ? Celui-ci va-t-il rouler de façon saccadée ? Ce document analyse le problème. télécharger le fichier en pdf		Théorie La pression de gonflage des pneus Avant chaque sortie, tout cycliste prévoyant a l'habitude de pincer les pneus avec ses doigts pour s'assurer d'un gonflage correct car cela a un impact sur le confort du cycliste, sur le risque de crevaison et sur l'effort à fournir. Ce document analyse ce dernier point en explicitant les forces mises en jeu. ouvrir

Théorie Gestion optimale d'un parcours cycliste Le problème que nous résolvons dans ce document est celui d'un cycliste qui veut effectuer un parcours le plus rapidement possible sachant que ce cycliste dispose d'une quantité d'énergie donnée et que la puissance qu'il peut fournir est limitée. Comment doit-il rouler tout au long des différentes sections, cotes, descentes ou plats composant ce parcours ? Le problème est résolu. Un calculateur annexe permet de calculer la vitesse sur les différentes sections pour un parcours schématisé par dix sections maximum. ouvrir		Calculateur Gérer un parcours contre la montre Ce calculateur établit le tableau de marche d'un parcours contre la montre à partir de la théorie présentée dans le document "Gestion optimale d'un parcours cycliste" afin de gérer au mieux l'énergie et la puissance d'un cycliste. La trace gpx du parcours est nécessaire. Le calculateur pourra aussi être utilisé à posteriori par ceux qui enregistrent leur sortie afin de voir si ils auraient pu mieux faire. L'hypothèse adoptée consiste à dire que le comportement du cycliste est analogue à celui d'une voiture dont le réservoir contient une quantité bien précise de carburant donc d'énergie, hypothèse assez théorique. ouvrir

Théorie Le pédalage en danseuse Ce document analyse le mode de pédalage dit "en danseuse" et montre qu'il permet de fournir une très forte puissance que le cycliste devra contrôler pour éviter d'être très vite exténué. ouvrir télécharger au format pdf		Utilitaire Il vente fort. Quelle aubaine pour les grimpeurs! Rouler contre le vent est comparable à la montée d'un col. Ce document établit la correspondance entre la vitesse du vent et la pente du "col fictif" ouvrir télécharger au format pdf

Utilitaire Rouler en accordéon Ce document montre que pour minimiser l'énergie dépensée, pour effectuer un parcours dans un temps imparti, il faut mieux rouler à une vitesse constante plutôt que de faire succéder des accélérations à des ralentissements. télécharger au format pdf		Théorie Des creux et des bosses Sur un parcours où les bosses succèdent aux creux, le cycliste alterne roue libre et pédalage. Ce document analyse ces séquences et recherche quelle peut être la meilleure gestion du parcours. ouvrir télécharger le fichier en pdf

Utilitaire Evaluer la difficulté d'un parcours cycliste La difficulté d'un parcours s'exprime généralement en termes qualitatifs: parcours difficile, moyen , facile etc...Ce document propose une cotation des parcours basée sur l'énergie que devra dépenser un cycliste standard pour effectuer le parcours. La connaissance précise du profil du parcours est indispensable. L'application proposée utilise les données fournies par le site Internet "Openrunner" ouvrir		Théorie Le déventement en cyclisme La résistance de l'air est la première force à vaincre par le cycliste. Etre déventé par le cycliste qui précède, voire par un peloton réduit notablement cette résistance et induit donc une économie d'énergie. Dans ce document, le problème est analysé théoriquement mais aussi par des essais afin de quantifier cette économie d'énergie. ouvrir télécharger au format pdf

Théorie Le freinage en équation Le freinage est une opération banale qui ne présente en général aucun risque sauf pour les freinages d'urgence où le cycliste exerce une forte pression sur les manettes: un dérapage voire une culbute est alors possible. Ce document examine les forces mises en jeu et précise les conditions dans lesquelles une chute devient possible. ouvrir télécharger le fichier en pdf		Théorie A quelle vitesse aborder un virage ? Prendre un virage à vitesse élevée est une opération délicate car on risque dérapage, culbute ou sortie de route. Le bon descendeur doit intégrer plusieurs paramètres en une fraction de secondes, c'est le cerveau qui compte beaucoup plus que les jambes. Ce document analyse le problème. ouvrir télécharger au format pdf

Théorie Moins se mouiller sous la pluie ? Vous êtes sortis sans regarder la météo. Voilà qu'il se met à pleuvoir, vous n’avez pas votre équipement de pluie et il vous faut rentrer. Faut-il accélérer très fort pour éviter de trop se mouiller ? ou bien faut-il conserver son rythme ? Il y-a-t-il un comportement à adopter ? Ce document essaie de répondre à ces interrogations. ouvrir télécharger le fichier en pdf		Théorie Le sprint: puissance, force, vitesse Le sprint est un exercice particulier réservé aux coureurs. Sa mise en équation montre que la stratégie a une importance primordiale. ouvrir télécharger au format pdf

Utilitaire Détection d'anomalie cardiaque sur un vélo ergocycle Vous disposez d'un vélo d'appartement ou d'un home-trainer du type ergomètre, vous pouvez l'utiliser pour effectuer des tests d'effort simples susceptibles de détecter efficacement une anomalie cardiaque ou bien tout simplement tester votre forme du jour. Ce document vous propose le protocole d'un test et surtout son interprétation. ouvrir télécharger le fichier en pdf		Théorie Le running en équation ? Des internautes nous disent qu’ils utilisent les calculateurs de ce site pour la course à pied, les trails ou running et qu’ils en sont satisfaits. Aussi nous avons cherché à savoir comment cette extension à une autre discipline sportive que le cyclisme pouvait s’expliquer. Le modèle mécanique proposé qui établit une relation puissance-vitesse voisine de celle du cyclisme montre que cette utilisation est possible moyennant une adaptation pour les descentes car on peut descendre à vélo toute pente tandis qu'en courant la vitesse reste limitée et il faut "freiner" pour éviter la chute. Deux calculateurs adaptés au running sont fournis, tout en étant bien conscient que le modèle est approximatif ouvrir télécharger au format pdf


Utilitaire Calcul de l'autonomie d'un VAE La hantise de la panne sèche peut gâcher une sortie à VAE si l'on s'éloigne trop de son domicile. En proposant des calculateurs en ligne, ce document peut être utile pour se sensibiliser aux différents facteurs qui influent sur l'autonomie d'un Vélo à Assistance Electrique. Si vous disposez de la trace GPX d'un parcours, vous pourrez calculer avec précision la consommation électrique à prévoir en fonction de la vitesse et du taux d'assistance que vous aurez choisis. ouvrir		Utilitaire Planification d'un parcours en VTTAE Un VTTAE ne diffère pas fondamentalement d'un VAE mais c'est surtout l'usage qui en est fait qui nous a conduit à réaliser ce calculateur. En effet, le VAE est plutôt un moyen de transport alors que le VTTAE est un engin ludique et sportif avec lequel on s'aventure sur des terrains accidentés et sur des parcours à revêtement très variable exigeant parfois une forte consommation électrique. Il peut s'agir alors de prévoir des points de recharge sur son parcours. Ce calculateur permet de planifier son parcours, tout en restant conscient que la variabilité du parcours ne peut aboutir à une précision aussi rigoureuse que celle obtenue sur une route goudronnée. ouvrir

Spécial Coupe du monde. Rugby. Kolbe contre Ramos Ce document analyse la transformation de Ramos contrée par Kolbe lors du match France/Afrique du Sud avec l'utilisation du calculateur du document running. ouvrir

Le vélo en équation

Ce document établit sur un ton humoristique la relation fondamentale reliant la puissance développée par un cycliste à sa vitesse et examine l'influence des paramètres à prendre en compte: la résistance au vent, le frottement des pneus, la pente de la route, le vent réel, l'abri du peleton.

Calculer sa puissance à partir d'une trace GPX

Si vous disposez d'une "trace GPX" d'un parcours que vous avez effectué, trace obtenue à partir d'un Smartphone ou d'un GPS, ce calculateur vous donnera la puissance que vous avez fournie tout au long du parcours.

Calculer sa puissance

Sans vous doter d'une instrumentation particulière, ce calculateur permet de faire une estimation de la puissance que vous pouvez fournir en se basant sur les performances réalisées lors d'une randonnée sur terrain relativement plat.

Calculer sa vitesse

Simulation d'un parcours donné par sa trace GPX

Calculer le coefficient de frottement

Calculer le coefficient de frottement

Calculer son coefficient de pénétration dans l'air

Calculer son coefficient de pénétration dans l'air

Calculer son coefficient de pénétration dans l'air et le coefficient de frottement

Calculer son coefficient de pénétration dans l'air et le coefficient de frottement

Calculer la pente de la route

Calculer le profil équivalent d'un parcours

Correction de l'altitude dans une trace gpx

Le VAE pour tous

Enfourchez votre vélo et partez le vent dans le dos. C'est fait, vous avez un VAE. Entendons par là Vélo à Assistance Eolienne. Ce document chiffre cette assistance et vous réserve peut-être quelques surprises.

Le gain de vitesse à vélo couché

Avec un plateau ovale, tourne-t-on plus rond ?

Plusieurs vainqueurs récents du Tour de France étant équipés de plateaux ovales, les controverses sur l'efficacité de ces plateaux ont été remises au gout du jour. Ce document essaie d'analyser en toute objectivité si une augmentation des performances est possible.

Prévoir ses performances en montagne

A partir des performances en plaine, ce document propose un calcul en ligne pour prévoir vos capacités de grimpeur sans fournir plus d'énergie.

Fiche horaire d'un parcours

basée sur la puissance

Cette feuille de calcul Excel permet de calculer l'horaire d'un parcours de montagne où les points de passage sont définis par leur position kilométrique et leur altitude

Le mouvement de pédalage

La vitesse angulaire du plateau

La pression de gonflage des pneus

Gestion optimale d'un parcours cycliste

Gérer un parcours contre la montre

Le pédalage en danseuse

Ce document analyse le mode de pédalage dit "en danseuse" et montre qu'il permet de fournir une très forte puissance que le cycliste devra contrôler pour éviter d'être très vite exténué.

Il vente fort. Quelle aubaine pour les grimpeurs!

Rouler contre le vent est comparable à la montée d'un col. Ce document établit la correspondance entre la vitesse du vent et la pente du "col fictif"

Rouler en accordéon

Ce document montre que pour minimiser l'énergie dépensée, pour effectuer un parcours dans un temps imparti, il faut mieux rouler à une vitesse constante plutôt que de faire succéder des accélérations à des ralentissements.

Des creux et des bosses

Sur un parcours où les bosses succèdent aux creux, le cycliste alterne roue libre et pédalage. Ce document analyse ces séquences et recherche quelle peut être la meilleure gestion du parcours.

Evaluer la difficulté d'un parcours cycliste

Le déventement en cyclisme

Le freinage en équation

A quelle vitesse aborder un virage ?

Prendre un virage à vitesse élevée est une opération délicate car on risque dérapage, culbute ou sortie de route. Le bon descendeur doit intégrer plusieurs paramètres en une fraction de secondes, c'est le cerveau qui compte beaucoup plus que les jambes. Ce document analyse le problème.

Moins se mouiller sous la pluie ?

Le sprint: puissance, force, vitesse

Le sprint est un exercice particulier réservé aux coureurs. Sa mise en équation montre que la stratégie a une importance primordiale.

Détection d'anomalie cardiaque sur un vélo ergocycle

Le running en équation ?

Calcul de l'autonomie d'un VAE

Planification d'un parcours en VTTAE

Coupe du monde. Rugby. Kolbe contre Ramos

Ce document analyse la transformation de Ramos contrée par Kolbe lors du match France/Afrique du Sud avec l'utilisation du calculateur du document running.

Simulation d'un parcours
donné par sa trace GPX

Il vente fort.
Quelle aubaine pour les grimpeurs!

Coupe du monde. Rugby.
Kolbe contre Ramos