CALCULER LE COEFFICIENT DE PENETRATION DANS L'AIR
ET LE COEFFICIENT DE FROTTEMENT
PAR LE TEST DE DECELERATION

Il existe diverses méthodes expérimentales pour déterminer le coefficient de pénétration dans l’air C_x et le coefficient de frottement des pneus sur la chaussée désigné par f dans nos documents.
Le test dénommé « vitesse limite en descente » et proposé par ailleurs sur ce site permet de calculer le coefficient C_x. Ce test a l’inconvénient de nécessiter la connaissance de la valeur du coefficient de frottement f. En revanche, il est très facile à réaliser car il suffit de disposer sur son vélo d’un compteur ordinaire de vitesse et de lire sur ce compteur la vitesse limite atteinte en descente ; ainsi, on garde les deux mains sur le guidon et donc la position sur le vélo dont on veut juger de l’efficacité.
Le test dénommé « distance d'arrêt sur le plat », tel qu’il est proposé sur ce site, permet de déterminer le coefficient de frottement mais à condition de connaitre le coefficient C_x. Il est également simple à réaliser et ne nécessite pas de manipuler le compteur ou un chronomètre en roulant.
Si l'on ne connaît aucun des paramètres Cx ou f, on peut effectuer le test de "décélération" qui permet de déterminer à la fois le coefficient C_x et le coefficient f. Le protocole est le suivant :

Si le test présente l’avantage de déterminer à la fois C_x et f, il présente l’inconvénient d’être plus difficile à réaliser à cause du chronométrage nécessaire. Il faut déclencher un chronomètre lorsque le compteur affiche une vitesse V₁ que l’on mémorisera dans sa tête et le stopper à une vitesse V₁ mémorisée elle-aussi. On peut donc être contraint de lâcher plus ou moins le guidon d’une main. Une solution est d’avoir un assistant sur le bord de la route qui manipulera le chronomètre aux tops que vous lui hurlerez. A bien noter que les vitesses V₁ et V₂ n’ont pas besoin d’être définies à l’avance mais peuvent être quelconques.

Théorie

Nous adopterons comme unités les unités utilisées par les cyclistes soit le poids en kg, la distance en km, le temps en heure et la vitesse en km/h. Bien que cela ait l’inconvénient d’alourdir les équations, cela a l’avantage de travailler avec des unités familières.

Adoptons les notations suivantes:

Remarque très importante. En dynamique des fluides, la valeur de la résistance de l’air lorsque qu’un objet se déplace est de la forme : ρ est la masse spécifique de l’air. Elle varie un peu en fonction de la pression atmosphérique, de la température, de l’altitude et du degré hygrométrique. Une valeur courante sous nos latitudes est de 1.25 kg/m3 mais elle peut varier de 10%. S est la « surface frontale » de l’objet en mouvement, c’est-à-dire la projection du contour de l’objet sur un plan perpendiculaire à la direction du déplacement Cx est un coefficient qui porte de nom généralement de « coefficient de trainée » et qui dépend de la forme de l’objet, aussi bien de la forme de la partie avant exposé au vent que de celle de la partie arrière, en bref de la « forme aérodynamique » de l’objet. Or, d’une part ce qui nous intéresse est la valeur globale de : et d’autre part, c’est cette valeur globale que l’on peut mesurer avec des tests simples. C’est pourquoi, pour ne pas s’embarrasser des valeurs de ρ et de S dont la connaissance n’est pas indispensable, dans tous nos documents nous avons appelé Cx la valeur globale de K. Il ne faut donc pas faire de confusion avec des valeurs du Cx que l’on peut trouver par ailleurs. En particulier, on utilise parfois la valeur globale de SCx. Il en résulte que pour passer de la valeur de SCx à la valeur de notre Cx égal à K, il faut multiplier SCx par 0.5ρ , soit par 0.625

L’équation du mouvement appliquée à l’ensemble cycliste et vélo :

équation [1]

On notera que cette équation ne prend pas en compte l’énergie cinétique de rotation des roues que nous estimons négligeable par rapport à l’énergie cinétique de translation. On rappellera en effet que l’énergie emmagasinée par un corps de masse M qui se déplace à une vitesse V comprend l’énergie cinétique de translation due au déplacement du corps et l’énergie cinétique de rotation si le corps ou une partie du corps est soumis à une rotation, ce qui est le cas des roues d’un vélo.
L’énergie cinétique de translation est égale à :

et l’énergie cinétique de rotation à :

Pour comparer la valeur de ces deux types d’énergie, il suffit de comparer les termes M et I/R² (ces deux quantités s’expriment en kg).
La valeur de I/R² pour un vélo de route est compris entre 1 et 1,2 kg. On la négligera donc vis-à-vis de la masse cycliste + vélo d’autant plus que cette masse varie selon que le cycliste est à jeun ou a bien bu et bien mangé.

On posera :

Dans notre test, la valeur de p est nulle puisque nous avons choisi une route plate, mais il est toujours possible de tenir compte d’une légère pente si celle-ci est connue et si elle est positive (montée).
Avec ces notations, l’équation devient :

équation [2]

Soit :

Compte tenu qu’à l’instant t=0, on a V=V₀ l’intégration de cette équation différentielle aboutit à :

équation [3]

Appliquons à notre test. En prenant t=0 au moment où l’on roule à la vitesse V₁, on aura :

On a donc une équation où l’on a deux inconnues a et Vs. Pour résoudre le problème, il faut une seconde équation. Celle-ci sera obtenue en répétant le test pour deux vitesses V₃ et V₄, on aura ainsi cette seconde équation :

On dispose finalement d’un système de deux équations à deux inconnues, donc d’un système qui peut être résolu. La seule difficulté provient du fait que les deux équations ne sont pas des équations linéaires et que le système n’a pas de solution analytique. Il faut donc résoudre ce système par une méthode numérique, ce qui n’est pas un gros problème.
Cependant, pour éviter cette résolution numérique, on peut disposer d'une solution analytique approchée en procédant comme suit: on utilise l’équation [2] que l’on va appliquer à l’instant où la vitesse est égale à (V₁+V₂)/2, soit:

En remplaçant a et V_s par leur expression en fonction de f et C_x, on obtient la relation :

équation [4]

et une relation tout à fait analogue avec V₃, V₄ et t₂.
On dispose donc maintenant d’un système de deux équations linéaires en f et C_x que l’on peut résoudre sans difficultés. Cette solution approchée est tout à fait satisfaisante.

Calculateur Ne remplissez pas les cases jaunes, elles contiennent le résultat du calcul. Après avoir rempli les cases blanches, cliquez sur "Solution" pour effectuer le calcul. Poids total cycliste + vélo (en kg) Vitesse V1 (en km/h) Vitesse V2 (en km/h) Temps T1 (en secondes) Vitesse V3 (en km/h) Vitesse V4 (en km/h) Temps T2 (en secondes) Coefficient de pénétration dans l'air Cx Coefficient de frottement f en %

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