Calcul approché de la puissance

Jacques Fine. Avril 2020.
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Le calculateur "Calculer sa puissance" fournit une valeur approchée de la puissance, établie avec des hypothèses simplificatrices. L'objet de ce document est d'expliquer la méthode de calcul, de justifier les hypothèses adoptées et d'analyser la marge d'erreur que l'on peut faire.

Soit un parcours de longueur D avec le départ et l'arrivée au même endroit ou tout au moins avec une arrivée à la même altitude que le départ.
Le problème à résoudre est de calculer la puissance moyenne fournie durant le parcours sachant que l’on connaît seulement :

La première hypothèse que nous ferons est de décomposer le parcours en deux sections de longueur égale, donc:

D₁=D₂=D/2

On va admettre que la première section est une montée dont la pente est égale à :

et que la seconde section est une descente de pente -p
La première section est effectuée à la vitesse V₁. La durée de la montée est donc :

La seconde section est effectuée à la vitesse V₂. La durée de la descente est donc :

La durée du parcours total est donc

La vitesse moyenne V_m qui est égale à D/T s’exprime alors par la relation ci-dessous:

Signalons au passage l'erreur parfois commise: la vitesse moyenne n’est pas égale à 0.5 (V₁+V₂) . Si l'on gravit un col à 10 km/h et que l'on redescend à 40 km/h, la vitesse moyenne n'est égale à 0.5(10 +40)=25 km/h mais à 15 km/h conformément à la relation précédente.

A partir de la relation précédente, on peut calculer au moyen des deux relations [1] ci-dessous la vitesse V₁ si l'on connait V_m et V₂ ou inversement la vitesse V₂ si l'on connaît V_m et V₁ .

Ces relations préliminaires étant établies, calculons maintenant la puissance moyenne. Il faut d'abord rappeler que la puissance est égale à l'énergie fournie divisé par le temps.
L’énergie E₁ fournie durant la première section au cours de laquelle le cycliste a développé une puissance P₁ est égale à

E₁=T₁ P₁

De même, l’énergie E₂ fournie durant la seconde section au cours de laquelle le cycliste a développé une puissance P₂ est égale à

E₂=T₂ P₂

L’énergie totale est donc

La puissance moyenne P_m fournie sur le parcours total est donc :

Par ailleurs, la puissance et la vitesse sont reliées par les relations suivantes

De ces trois dernières équations, on tire la valeur de P_m en fonction de V₁ et V₂, soit, tous calculs faits:

Dans cette relation, on peut éliminer V1 ou V2 en utilisant les relations [1], mais de toute façon, on constate que pour calculer la puissance moyenne, il faut connaitre soit V₁, soit V₂. La connaissance de V_m n’est donc pas suffisante.
En conséquence, le problème n’a pas de solution.
Pour poursuivre, il faut alors adopter une hypothèse supplémentaire.
Une hypothèse simple est de supposer que la puissance fournie est constante tout au long du parcours, aussi bien en montée qu’en descente. Cela veut dire que l’on pédalera en descente. Cela n’a rien d’irréaliste ; en pratique, on aime bien aller vite dans les descentes.
On a donc:

P_m =P₁=P₂

Ce qui se traduit par

On a donc une nouvelle relation entre V₁ et V₂ et de cette relation, on peut tirer V₁ en fonction de V₂ ou inversement V₂ en fonction de V₁ . Par exemple, en éliminant V₂ ,on obtient :

Le problème est que cette relation n’est pas une relation du premier degré en V₁. Il n’y a donc pas d’expression littérale pour calculer V₁ en fonction de V₂ (ou inversement). Ce n’est cependant pas un problème majeur car cette équation peut être résolue par une méthode numérique, par exemple en faisant croître V₁ à partir de 0 jusqu’au moment où le premier membre de cette relation devient égal au second. Ayant calculé ainsi V₁ , on calculera la valeur de P_m à partir de la relation encadrée en rouge.

C’est cette méthode d’évaluation de P_m qui est mise en œuvre dans notre calculateur.

En résumé: pour calculer la puissance moyenne, on résoud l'équation encadrée en bleu qui donne la valeur de V₁ et on reporte cette valeur dans la relation encadrée en rouge

Commentaire 1.

Notre méthode de calcul est une méthode approchée qui ne tient pas compte de la variété des pentes en montée comme en descente que l'on rencontre dans tout parcours.
Il est intéressant de savoir quel est l'ordre de l'approximation faite en remplaçant le parcours réel par un parcours fictif très simple tel que nous l'avons fait.
Le plus facile pour faire cette évaluation est de prendre un parcours dont le profil se rapproche d'un parcours réel comme par exemple le parcours défini sur la figure 1. Sur cette figure, le profil réel est en bleu. En noir, on a représenté le profil dit "équivalent" obtenu à partir du profil réel en cumulant à gauche les sections en montée et à droite les sections en descente. Le profil réel et le profil équivalent ne diffèrent que par l'ordre dans lequel on va aborder les sections en montée et les sections en descente. Au point de vue énergétique, ils sont strictement équivalents. Si vous disposez d'une trace gpx d'un fichier, vous pouvez calculer et visionner le profil équivalent en utilisant notre application "Calcul du profil équivalent". Ainsi, vous pourrez vous rendre compte de l'approximation faite en simplifiant le profil de votre parcours comme nous venons de l'expliquer. Sur l'exemple de la figure 1, en rouge, on a représenté le profil "fictif" servant à notre calcul approché. Ce parcours est de 80 km et son dénivelé est de 1000 m.

Nous fixons des vitesses arbitraires sur chaque section, tout en restant réalistes cependant, c'est-à-dire qu'elles soient de l'ordre de grandeur que le cycliste peut réaliser. On peut calculer alors sur un tableur la puissance développée pour chaque section puis, de là, la puissance moyenne réelle et la vitesse moyenne. Les vitesses arbitraires que l'on s'est fixées ainsi que les puissances qui en résultent sont indiquées dans le tableau 1.

Ensuite, à partir de la connaissance seulement de la longueur du parcours, du dénivelé et de la vitesse moyenne précédemment calculé, on peut effectuer le calcul approché de la puissance moyenne et finalement comparer les valeurs des deux puissances moyennes.
Sur la figure 1, on a mentionné les résultats pour le parcours réel bleu, soit 211 watts, et pour le parcours fictif rouge, soit 212 watts, soit un écart de +0,5 %, donc une concordance parfaite.

Sur la figure 2, on a modifié un peu le parcours en supprimant au km 30 la forte descente suivie d'une forte remontée, ce qui réduit le dénivelé à 870 m. Les résultats sont de 211 watts pour le parcours réel et de 205 watts pour le parcours fictif, soit un écart de -2,8 %.

Sur la figure 3, on a encore modifié le parcours en supprimant au km 13 la descente et la remontée qui s'en suivait, ce qui ramène le dénivelé à 690 m. Les résultats sont de 202 watts pour le parcours réel et de 195 watts pour le parcours fictif, soit un écart de -3,5 %.
Dans ces exemples numériques, l'ordre de grandeur de la marge d'erreur est inférieure à +/- 10 %. On peut donc penser que la méthode approchée donnerait une approximation très raisonnable de la puissance moyenne.
Nous présentons ci-dessous le tableau fourni aimablement par M. Gérard Morel, un cycliste internaute, que nous remercions pour avoir comparé les deux méthodes de calcul sur des parcours qu'il a lui-même effectués. La méthode de calcul approchée donne des résultats effectivement proches de la méthode de calcul à partir d'un enregistrement continu. On pourrait en conclure que l'utilisation d'un GPS ou Smarphone n'est pas primordiale pour avoir une bonne idée de la puissance fournie durant un parcours.

Commentaire 2.

La seconde hypothèse faite dans notre méthode est que la puissance est constante durant tout le parcours et donc que le cycliste pédale même dans les descentes. Pour un cycliste dit « cyclosportif » qui aime se griser de vitesse dans les descentes, on peut estimer que cette hypothèse est réaliste. En revanche, pour un cycliste qualifié de « touriste », sans que ce mot soit péjoratif car c'est dans la descente d'un col que l'on peut jouir de la vue de paysages grandioses et il serait désolant de s'en priver, cette hypothèse colle moins bien à la réalité puisque le cycliste se mettra en roue libre et donc fournira une puissance nulle. Le calcul de la puissance peut alors être fait avec cette hypothèse.
En roue libre dans la descente D2, la vitesse V2 est telle que :

D'où l'on tire :

La vitesse V1 est donnée par :

La puissance P1 est donnée par :

Et finalement, la puissance moyenne est :

Le calcul numérique du parcours 3 a été refait en estimant que le cycliste ne pédale pas dans les descentes. La vitesse introduite dans les données pour les sections en descente est celle correspondante à la vitesse en roue libre. Le tableau 3 présente les données du parcours.

Le calcul de la puissance moyenne réelle aboutit à 116 watts avec une vitesse moyenne de 20,57 km/h .
En reprenant cette vitesse moyenne et avec 690 m de dénivelé, le calcul effectué avec l'hypothèse de non pédalage en descente que nous venons d'établir aboutit à 83 watts soit un écart de -28 %, donc jugé très fort.
Quant au calcul effectué en admettant que le parcours est effectué à puissance constante, il aboutit à 104 watt, donc un écart de -10,3 %, ce qui est meilleur. En conclusion, considérer que le cycliste se met en roue libre dans les descentes n'est pas une hypothèse qui paraît acceptable .

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