CALCUL DE LA DISTANCE D'ARRET EN ROUE LIBRE
THEORIE & APPLICATION A LA MESURE DE f
L'objet de ce document est d'établir les relations permettant de calculer la distance à laquelle un cycliste va s'arrêter lorsqu'il se met en roue libre ainsi que le temps correspondant. Si l'on mesure cette distance d'arrêt, on pourra en déduire le coefficient de résistance au roulement ou coefficient de frottement f.
Analyse quantitative.
Nous utiliserons les unités légales et non pas les unités familières aux cyclistes, contrairement à d'autres documents présentés sur ce site, et cela afin de ne pas alourdir les équations. Adoptons les notations suivantes :
- W le poids cumulé du cycliste et du vélo en Newton. Il suffit de se souvenir qu'un poids de 1 kg correspond à 10 Newtons.
- V la vitesse du cycliste en m/s. Il faut se souvenir que la vitesse en km/h s'obtient en multipliant par 3,6. Ainsi, 10 m/s correspond à 36 km/h.
- V0 est la vitesse initiale du cycliste au moment où celui-ci se met en roue libre
- Vv la vitesse du vent en m/s. Par convention Vv sera positif si le vent est favorable, c'est-à-dire s'il vient de l'arrière et négatif s'il s'oppose à l'avancée du cycliste, donc s'il vient de face vient de face et négatif s'il vient de l'arrière.
- i angle de pente de la chaussée. Une valeur positive de l'angle i correspond à une montée et une valeur négative correspond à une descente.
- p la pente de la route. Elle est égale à tg i. On l'exprime en % dans le langage courant. En unités légales, il faut lui donner la valeur décimale de tg i. Une pente de 4% sera égale à 0,04.
- f est le coefficient de frottement roues/chaussée exprimé lui aussi en valeur décimale (f est de l'ordre de 0,01 pour une route standard mais l'objectif de ce calcul est de justifier un test destiné à mieux préciser cette valeur).
- Cx est le coefficient de pénétration dans l'air, de l'ordre de 0,18 à 0,25
- l'unité de temps est la seconde
- g est l'accélération de la pesanteur exprimée en m/s² et vaut 9,81 m/s²
L'équation du mouvement de translation du cycliste s'écrit :
masse * accélération =-force de pesanteur -force de frottement -résistance de l'air
soit :
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équation [1] |
Résolvons cette équation. On posera :
Vr est la vitesse relative du cycliste par rapport à l'air. Ainsi, si le vent vient de face (Vv négatif), la vitesse relative est plus forte que le vitesse du cycliste et inversement si le vent vient de l'arrière.
On notera aussi que f+p doit être positif pour que Vs ait un sens. Il faut donc p>-f, ce qui signifie que la pente p doit être très modérée si c'est une descente. Si f, par exemple, est de 1%, une pente de -2% n'est pas admise. Physiquement, cela veut dire que dans ce cas le cycliste ne s'arrêtera jamais et donc qu'il n'y a pas de distance d'arrêt.
Avec ces notations, l'équation [1] devient :
soit
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équation [2] |
La solution de cette équation différentielle est :
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équation [3] |
La distance parcourue x en fonction du temps est solution de l'équation différentielle :
Compte tenu qu'à l'instant t=0 on a : x=0 , la solution de cette équation est :
En utilisant la relation de trigonométrie
et en exprimant x en fonction de la vitesse V, cette relation peut s'écrire plus simplement :
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équation [4] |
La vitesse V s'annulera au bout d'un temps tA donné par :
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équation [5] |
La distance xA parcourue par le cycliste jusqu'à l'arrêt sera égale à :
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équation [6] |
Calcul de f.
Tous les paramètres ou variables contenus dans l'équation [6] sont : W, Cx, p, f, V0 et Vv
Si ces paramètres ou variables sont connus à l'exception de f, on pourra alors calculer f en faisant des tests permettant au cours desquels on mesurera V0 et xA et l'on résoudra l'équation où l'inconnue n'est pas xA mais f. Il faut donc extraire f de cette équation
- Cas général : pente non nulle et vent non nul.
Etant donné la complexité de la relation [6], il n'est pas possible d'extraire f en donnant une expression littérale. Il faut résoudre l'équation [6] par une méthode numérique, ce qui est fait dans notre calculateur.
- Cas particulier 1 : pente non nulle et vent nul.
L'équation[6] se simplifie si Vv=0De cette équation, tirons f en fonction de xA.
Connaissant W, Cx, V0, xA et p, on peut donc calculer le coefficient de résistance au roulement f au moyen d'une expression littérale.
équation [7]
- Cas particulier 2 : pente nulle et vent nul.
La relation [6] se simplifie encore.
Test aller et test retour
- Influence de la pente
On constate dans l'équation [7] que l'influence d'une pente, même très modérée, est importante. En effet, la précision sur f est égale à la précision sur p. Or il est souhaitable de connaître la valeur de f à 0,1% près, il faut donc connaître la pente à 0,1% près. Cela est très difficile sans faire appel à des instruments de mesure. En effectuant un premier test sur un tronçon de route de pente p1 et un second test en sens inverse donc avec les pentes p1 et -p1, on obtiendra les deux relationsSoit en faisant la moyenne de f1 et f2:
On constate donc qu'en calculant la valeur de f1 et de f2 en considérant la pente comme nulle et en faisant la moyenne des deux valeurs obtenues, l'influence de la pente sera éliminée. L'estimation de la pente réelle sera inutile.
- Influence du vent
La solution précédente est rigoureuse dans le cas où le vent est nul. Si le vent n'est pas nul, elle risque de n'être plus exacte. Cela dépend de la direction d'où souffle le vent car c'est la composante du vent suivant la direction de déplacement du cycliste qu'il faut prendre en compte. Donc, si le vent est latéral, son influence sera quasiment nulle. S'il souffle de face ou d'arrière, son influence sera importante.
Il n'est pas possible de donner une expression littérale de l'erreur que l'on peut commettre en faisant alors la moyenne du test aller et du test retour. On ne peut traiter le problème que numériquement. On a donc effectué des séries de calcul pour examiner l'influence du vent.
Ces calculs ont effectués en prenant un cycliste dont le poids, vélo inclus, est de 80kg, avec un coefficient Cx de 0.20.
Cinq séries de calcul ont été effectués. Pour toutes ces séries, on a fait varier la valeur du vent entre 0 et 18 kmh, cette valeur étant la composante du vent suivant la direction de déplacement du cycliste.- Pour chaque test, on calcule au moyen de la relation [6] la distance d'arrêt avec les valeurs du coefficient de frottement, de la vitesse initiale, de la pente et du vent.
- Avec le calculateur, on fait ensuite le calcul à l'envers, c'est-à-dire on entre pour données la vitesse initiale, la pente et la distance d'arrêt précédemment calculée mais en admettant un vent nul. Ce calcul permet de définir le coefficient de frottement fourni par le test en ignorant l'existence du vent.
- Le test fournit ainsi un coefficient de frottement f1 et le test inverse un coefficient de frottement f2. On fait ensuite la moyenne f de f1 et f2.
Les résultats de ces calculs sont rassemblés et illustrés par les tableaux et graphiques ci-dessous.
On a d'abord fait une première série de calcul pour définir une situation de référence. Ensuite, pour les séries suivantes, on a modifié un paramètre afin de comparer les résultats à ceux de la série de référence et donc voir l'influence du paramètre modifié.
- La série 1 est la série de référence
- Dans la série 2, on teste l'influence de la vitesse initiale (36 km/h au lieu de 18 km/h)
- Dans la série 3, on teste l'influence de la direction du vent par rapport à la pente
- Dans la série 4, on teste l'influence de la valeur réelle du coefficient de frottement (0,5% au lieu de 1%)
- Dans la série 5, on teste l'influence d'une valeur de la vitesse initiale du test aller très différente de celle du test retour.
Les conclusions de ces calculs sur l'influence du vent sont les suivantes :- on peut ne pas tenir compte du vent lors de tests à condition que la composante du vent suivant la direction de déplacement du cycliste soit très faible, ne dépassant pas 5 km/h. Cette intensité de vent correspond à une très légère brise, les feuilles des arbres ne frémissent pas, la fumée s'écarte un peu d'une montée verticale. La direction du vent est donc un facteur important si l'on veut une bonne précision de f en cas de vent notable.
- Il vaut mieux aussi ne pas choisir des vitesses initiales trop écartées entre le test aller et le test retour.
Conclusions générales
Pour avoir des résultats assez précis, il est recommandé d'effectuer des paires de tests: un test aller et le test dit "retour" consistant à effectuer le second test en sens inverse du premier test. On pourra ainsi s'affranchir de la connaissance extrêmement précise qu'il faudrait avoir de la pente en cas de test unique. L'existence d'un vent ainsi que sa direction peuvent être un facteur conduisant à une valeur inexacte du coefficient f. C'est pourquoi, s'il l'on ne dispose pas de moyens pour connaître l'intensité du vent et sa direction, il est recommandé de n'effectuer le test que par temps calme.
Septembre 2023.
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