CALCUL DE LA DISTANCE D'ARRET EN ROUE LIBRE
THEORIE
- du coefficient f de frottement
- du coefficient Cx de pénétration dans l'air
- du coefficient f et Cx à la fois
- de la pente de la route
Octobre 2023.
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Le calcul de la distance d'arrêt lorsqu'un cycliste se met en roue libre permet d'établir une relation entre les paramètres qui interviennent dans le déplacement du cycliste: le poids W du cycliste, son coefficient de pénétration dans l'air Cx, le coefficient f de résistance au roulement (ou de frottement), la pente p de la chaussée, la vitesse du vent et sa direction. La mesure de la distance d'arrêt est un test très facile à faire. Connaissant cette distance, on peut alors calculer un des paramètres indiqués ci-dessus qui serait inconnu si tous les autres paramètres sont connus. Avec deux tests de mesure de la distance d'arrêt, on peut même calculer deux paramètres qui seraient inconnus si tous les autres sont connus.
L'objet de ce document est d'établir la relation donnant la distance d'arrêt , puis à partir de cette relation voir comment on peut s'en servir pour calculer le coefficient f de résistance au roulement ou bien le coefficient de pénétration dans l'air ou même les deux à la fois.
Analyse quantitative.
Nous utiliserons les unités légales et non pas les unités familières aux cyclistes, contrairement à d'autres documents présentés sur ce site, et cela afin de ne pas alourdir les équations. Adoptons les notations suivantes :
- W le poids cumulé du cycliste et du vélo en Newton. Il suffit de se souvenir qu'un poids de 1 kg correspond à 10 Newtons.
- V la vitesse du cycliste en m/s. Il faut se souvenir que la vitesse en km/h s'obtient en multipliant par 3,6. Ainsi, 10 m/s correspond à 36 km/h.
- V0 est la vitesse initiale du cycliste au moment où celui-ci se met en roue libre
- Vv la vitesse du vent en m/s. Par convention Vv sera positif si le vent est favorable, c'est-à-dire s'il vient de l'arrière et négatif s'il s'oppose à l'avancée du cycliste, donc s'il vient de face vient de face et négatif s'il vient de l'arrière.
- i angle de pente de la chaussée. Une valeur positive de l'angle i correspond à une montée et une valeur négative correspond à une descente.
- p la pente de la route. Elle est égale à tg i. On l'exprime en % dans le langage courant. En unités légales, il faut lui donner la valeur décimale de tg i. Une pente de 4% sera égale à 0,04.
- f est le coefficient de frottement roues/chaussée exprimé lui aussi en valeur décimale (f est de l'ordre de 0,01 pour une route standard mais l'objectif de ce calcul est de justifier un test destiné à mieux préciser cette valeur).
- Cx est le coefficient de pénétration dans l'air, de l'ordre de 0,18 à 0,25
- l'unité de temps est la seconde
- g est l'accélération de la pesanteur exprimée en m/s² et vaut 9,81 m/s²
L'équation du mouvement de translation du cycliste s'écrit :
masse * accélération =-force de pesanteur -force de frottement -résistance de l'air
soit :
 |
équation [1] |
Résolvons cette équation. On posera :
Vr est la vitesse relative du cycliste par rapport à l'air. Ainsi, si le vent vient de face (Vv négatif), la vitesse relative est plus forte que le vitesse du cycliste et inversement si le vent vient de l'arrière.
On notera aussi que f+p doit être positif pour que Vs ait un sens. Il faut donc p>-f, ce qui signifie que la pente p doit être très modérée si c'est une descente. Si f, par exemple, est de 1%, une pente de -2% n'est pas admise. Physiquement, cela veut dire que dans ce cas le cycliste ne s'arrêtera jamais et donc qu'il n'y a pas de distance d'arrêt.
Avec ces notations, l'équation [1] devient :
soit
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équation [2] |
La solution de cette équation différentielle est :
 |
équation [3] |
La distance parcourue x en fonction du temps est solution de l'équation différentielle :
Compte tenu qu'à l'instant t=0 on a : x=0 , la solution de cette équation est :
En utilisant la relation de trigonométrie
et en exprimant x en fonction de la vitesse V, cette relation peut s'écrire plus simplement :
 |
équation [4] |
La vitesse V s'annulera au bout d'un temps tA donné par :
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équation [5] |
La distance dA parcourue par le cycliste jusqu'à l'arrêt sera égale à :
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équation [6] |
Un calculateur vous permet de calculer dA.
De plus, si l'on fait deux tests, étant donné que l'on obtiendra deux équations, si deux des cinq paramètres sont inconnus, on pourra les mesurer.
Ci-après, nous allons détailler quatre applications qui nous paraissent les plus utiles et justifiant les calculateurs qui y sont associés.
Calcul de f, Cx étant connu.
En effectuant un test, on établit donc une relation entre les 5 paramètres: W, Cx, p, f et Vv
Si tous ces paramètres sont connus sauf f, cette relation nous donne la valeur de f. Il suffit donc de résoudre cette équation c'est à dire d'en extraire la valeur de f.
- Cas général : pente non nulle et vent non nul.
Etant donné la complexité de cette relation [6], il n'est pas possible d'extraire f en donnant une expression littérale. Il faut résoudre l'équation [6] par une méthode numérique, ce qui est fait dans notre calculateur.
- Cas particulier 1 : pente non nulle et vent nul.
L'équation[6] se simplifie si Vv=0De cette équation, tirons f en fonction de dA. La relation précédente peut s'écrire:
Connaissant W, Cx, V0, dA et p, on peut donc calculer le coefficient de résistance au roulement f au moyen d'une expression littérale.
équation [7]
- Cas particulier 2 : pente nulle et vent nul.
La relation [6] se simplifie encore.
Test aller et test retour
- Influence de la pente
On constate dans l'équation [7] que l'influence d'une pente, même très modérée, est importante. En effet, la précision sur f est égale à la précision sur p. Or il est souhaitable de connaître la valeur de f à 0,1% près, il faut donc connaître la pente à 0,1% près. Cela est très difficile sans faire appel à des instruments de mesure. En effectuant un premier test sur un tronçon de route de pente p1 et un second test en sens inverse donc avec les pentes p1 et -p1, on obtiendra les deux relationsSoit en faisant la moyenne de f1 et f2:
On constate donc qu'en calculant la valeur de f1 et de f2 en considérant la pente comme nulle et en faisant la moyenne des deux valeurs obtenues, l'influence de la pente sera éliminée. L'estimation de la pente réelle sera inutile.
- Influence du vent
La solution précédente est rigoureuse dans le cas où le vent est nul. Si le vent n'est pas nul, elle risque de n'être plus exacte. Cela dépend de la direction d'où souffle le vent car c'est la composante du vent suivant la direction de déplacement du cycliste qu'il faut prendre en compte. Donc, si le vent est latéral, son influence sera quasiment nulle. S'il souffle de face ou d'arrière, son influence sera importante.
Il n'est pas possible de donner une expression littérale de l'erreur que l'on peut commettre en faisant alors la moyenne du test et du test inverse. On ne peut traiter le problème que numériquement. On a donc effectué des séries de calcul pour examiner l'influence du vent.
Ces calculs ont effectués en prenant un cycliste dont le poids, vélo inclus, est de 80kg, avec un coefficient Cx de 0.20.
Cinq séries de calcul ont été effectués. Pour toutes ces séries, on a fait varier la valeur du vent entre 0 et 18 kmh, cette valeur étant la composante du vent suivant la direction de déplacement du cycliste.- Pour chaque test, on calcule au moyen de la relation [6] la distance d'arrêt avec les valeurs du coefficient de frottement, de la vitesse initiale, de la pente et du vent.
- Avec le calculateur, on fait ensuite le calcul à l'envers, c'est-à-dire on entre pour données la vitesse initiale, la pente et la distance d'arrêt précédemment calculée mais en admettant un vent nul. Ce calcul permet de définir le coefficient de frottement fourni par le test en ignorant l'existence du vent.
- Le test aller fournit ainsi un coefficient de frottement f1 et le test retour un coefficient de frottement f2. On fait ensuite la moyenne f de f1 et f2.
Les résultats de ces calculs sont rassemblés et illustrés par les tableaux et graphiques ci-dessous.
On a d'abord fait une première série de calcul pour définir une situation de référence. Ensuite, pour les séries suivantes, on a modifié un paramètre afin de comparer les résultats à ceux de la série de référence et donc voir l'influence du paramètre modifié.
- La série 1 est la série de référence
- Dans la série 2, on teste l'influence de la vitesse initiale (36 km/h au lieu de 18 km/h)
- Dans la série 3, on teste l'influence de la direction du vent par rapport à la pente
- Dans la série 4, on teste l'influence de la valeur réelle du coefficient de frottement (0,5% au lieu de 1%)
- Dans la série 5, on teste l'influence d'une valeur de la vitesse initiale du test très différente de celle du test retour.
Les conclusions de ces calculs sur l'influence du vent sont les suivantes :- on peut ne pas tenir compte du vent lors de tests à condition que la composante du vent suivant la direction de déplacement du cycliste soit très faible, ne dépassant pas 5 km/h. Cette intensité de vent correspond à une très légère brise, les feuilles des arbres ne frémissent pas, la fumée s'écarte un peu d'une montée verticale. La direction du vent est donc un facteur important si l'on veut une bonne précision de f en cas de vent notable.
- Il vaut mieux aussi ne pas choisir des vitesses initiales trop écartées entre le test aller et le test retour.
Conclusions générales sur le calcul de f
Pour avoir des résultats assez précis, il est recommandé d'effectuer des paires de tests: un test dit "aller" et le test dit "retour" consistant à effectuer le second test en sens inverse du premier test. On pourra ainsi s'affranchir de la connaissance extrêmement précise qu'il faudrait avoir de la pente en cas de test unique. L'existence d'un vent ainsi que sa direction peuvent être un facteur conduisant à une valeur inexacte du coefficient f. C'est pourquoi, s'il l'on ne dispose pas de moyens pour connaître l'intensité du vent et sa direction, il est recommandé de n'effectuer le test que par temps calme.
Calcul de Cx, f étant connu
Si tous les paramètres à l'exception de Cx sont connus, la relation [6] va permettre de calculer Cx. Cx intervient au travers des paramètres a et Vs. Il est plus facile de prendre Vs comme inconnue. En exprimant a en fonction de Vs puisque l'on a:
l'équation [6] devient:
Il n'est pas possible d'extraire littéralement Vs de cette équation même en prenant Vv=0. Il faut donc résoudre numériquement l'équation. Une fois cette résolution faite, le coefficient Cx s'obtient par:
Un calculateur est proposé sur le site.
Calcul de f et de Cx.
Si f et Cx sont inconnus, il faut deux relations pour résoudre le problème afin d'avoir un système de 2 équations à 2 inconnues. Pour cela, il est facile de faire un second test et c'est le test retour qui s'impose. En mesurant les distances d'arrêt d1 et d2, on aura donc le système à résoudre suivant:
Vu la complexité de ce système, il est évidemment impossible de le résoudre autrement que numériquement.
Un calculateur est proposée sur le site. La procédure de calcul est la suivante: on part de la valeur f=0.1
et l'on calcule respectivement Cx1 et Cx2 à partir des 2 équations. On compare
Cx1 et Cx2. Si ces 2 paramètres ne sont pas égaux, on fait croître f par incrément
très faible (0.00001) et on recommence le calcul jusqu'au moment où l'on trouve une valeur de f pour laquelle
on a Cx1=Cx2 (à 0.00001 près), la valeur de f et de Cx1 ou Cx2 est
alors solution du problème.
Comme précédemment, l'influence de la pente et du vent ne peut être analysée que par applications numériques.
Calcul de la pente, connaissant f et Cx.
Si f et Cx sont connus, on peut faire le test pour mesurer la pente d'une chaussée. Dans la relation [6], f et p interviennent dans la variable f+p seulement. Il en résulte que f et p jouent un rôle tout à fait identique. Il suffit donc de reprendre les équations formulées pour calculer f et de permuter f et p.
Une restriction s'impose: il faut que f+p soit positif. En conséquence, si l'on fait un double
test, aller et retour, il ne faut pas que la pente descendante soit plus forte que f. Le double test
est donc réservé aux pentes très faibles, inférieur à 1% si le coefficient f est égal à 1%.
Si l'on veut mesurer une pente plus forte, il est donc suggéré de faire un seul test ou deux tests,
si l'on veut, à condition que ces deux tests soient tous les deux faits dans le sens montants en faisant varier fortement
la vitesse initiale afin de ne pas avoir deux fois le même test. On fera ensuite la moyenne des deux pentes obtenues.
Utiliser ce test de distance d'arrêt pour mesurer une pente, donc le transformer en inclinomètre,
nous semble quand même être plutôt un gadget. Néanmoins,un calculateur est proposé sur ce site
Septembre 2023.
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